Уравнения с параметрами

Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. Альберт Эйнштейн

№ 1 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x² + (a + 5)² = |x + a + 5| + |x – a -5| имеет ровно три корня.

РЕШЕНИЕ Уравнение не изменится, если заменить x числом –x . Следовательно, уравнение имеет чётное число ненулевых решений. Значит, три решения уравнения имеет только тогда, когда одно из них 0. Поставим x = 0 .

Получим: (a + 5)² = 2|a + 5|

Откуда a + 5 = 0 или |a + 5| = 2.

Если a + 5 = 0, уравнение принимает вид x² = 2|x| и имеет ровно три решения: -2, 0, 2. Из a + 5 = 0 получаем: a = -5. Если |a +5| = 2, уравнение принимает вид x² + 4 = |x + 2| + |x – 2|.

2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5. " width="640"

При -2 ≤ x ≤ 2 уравнение имеет единственное решение 0. При x 2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5.

№ 2

Найдите все значения параметра a, при котором уравнение f(x) = |2a + 5|x

имеет 6 решений, где f -- чётная периодическая функция, с периодом Т = 2, определённая на всей числовой прямой, причём f(x) = ax², если 0≤x≤1 .

РЕШЕНИЕ Если а = 0, функция f(x) тождественно равна нулю, и её график имеет с прямой y = 5x единственную общую точку.

0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен. " width="640"

Пусть а = 0, (рис. 1). Решение х = 0 есть при всех а. Нужно ещё ровно пять решений. Единственный возможный случай показан на рисунке: прямая проходит через точку (5 ; а). Составим уравнение |2a + 5| ∙ 5 = a. Так как а 0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен.

№ 3 Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) = x² - 3|x - a²| - 5x имеет более двух точек экстремума. РЕШЕНИЕ При х ≥ а² f (x) = x² - 8x + 3a², поэтому график функции есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х = 4.

Обе параболы проходят через точку (а² ; f(a²)). Функция y = f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): 1

Ответ: -2

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей». «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится, и в конце урока мы с вами станем мудрее.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Пирогова Татьяна Николаевна г. Таганрог МОУ СОШ № 10.

Тема: «Решение уравнений с модулем и параметром»

10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».

План урока.

1. Мотивация.
2. Актуализация знаний.
3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.
4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.
5. Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения

| | х| - а |= в от значений а и в.

1. Рефлексия.

Ход урока.

Мотивация. Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей». «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится, и в конце урока мы с вами станем мудрее.

Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле .

• Определение модуля. Модулем действительного числа – называется само число, если оно неотрицательно и противоположное ему число, если оно отрицательно.

• Геометрический смысл модуля. Модуль действительного числа а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой а на числовой прямой.

– a 0 a

|– a | = | a | | a | x

• Геометрический смысл модуля разности величин. Модуль разности величин | а – в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,

Т.е. длина отрезка [ а в ]

1) Если a b 2) Если a > b

a b b a

S = b – a S = a – b

3) Если a = b , то S = a – b = b – a = 0

• Основные свойства модуля

1. Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. | x | ≥ 0 для любого x
2. Модули противоположных чисел равны, т.е. | x | = |– x | для любого x
3. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е. | x | 2 = x 2 для любого x

4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.| a b | = | a | · | b |

5. Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. при b ≠ 0

6. Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства :

| | a | – | b | | ≤ | a + b | ≤ | a | + | b |

| | a | – | b | | ≤ | a – b | ≤ | a | + | b |

• График модуля у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.
• Как построить графики функций? у = | х –4|, у = | х +3|, у = | х –3|, у = | х | + 1 ,
• у = | х | – 3, у = | х | – 5, у = | х – 3 | + 3, у = | х – 3 | – 2, у = | х + 2 | – 5. у = || х| – а |

Пример. Решить уравнение .

Способ 1. Метод раскрытия модулей по промежуткам.

Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля.

Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.

Способ 3 . Использование геометрического смысла модуля.

Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.

Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Здесь используется свойство модуля

И то, что обе части уравнения неотрицательные.

Способ 5. Графическое решение уравнения .

Обозначим. Построим графики функций и :

Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни

2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5

Самостоятельная работа

решите уравнения:

| х – 1| = 3 | х – 5| = 3 | х –3| = 3 | х + 3| = 3 | х + 5| = 3

(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2)

А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:

| | х| – 1| = 3 | | х| –5| = 3 | | х | – 3| = 3 | | х | + 3| = 3 | | х | + 5| = 3

(нет корней)

Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х | – а |= в? От чего это зависит?

Исследовательская работа по теме

«Определение зависимости количества корней уравнения | | х | – а |= в от а и в »

Проведем работу по группам, с использованием аналитического, графического и геометрического способов решения.

Определим, при каких условиях данное уравнение имеет 1 корень, 2 корня, 3 корня, 4 корня и не имеет корней.

1 группа (по определению)

2 группа (используя геометрический смысл модуля)

3 группа (используя графики функций)

А > 0
	1 группа	2 группа	3 группа
Нет корней	в в ≥ 0 в + а	в в ≥ 0 а + в	в в ≥ 0 в а
ровно один корень	в > 0 и в + а = 0	в > 0 и в + а = 0	в > 0 и в = – а
ровно два корня	в > 0 и в + а > 0 – в + а	в > 0 и в + а > 0 – в + а	в > 0 и в > | а |
ровно три корня	в > 0 и – в + а = 0	в > 0 и – в + а = 0	в > 0 и в = а
ровно четыре корня	в > 0 и – в + а >0	в > 0 и – в + а >0	в > 0 и в а

Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.

Конечно, необязательно эту схему запоминать . Главное в проведенном нами исследовании было – увидеть эту зависимость, используя разные методы , и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений нам будет уже несложно.

Ведь решение задания с параметром всегда подразумевает некоторое исследование.

Решение уравнений с двумя модулями и параметром.

1. Найти значения р, х| – р – 3| = 7 имеет ровно один корень.

Решение: | | х| – (р + 3)| = 7

р +3= -7, р = -10. Или геометрически

р + 3 – 7 р + 3 р + 3+7 р + 3+7=0, р = -10

7 7 по схеме уравнение такого вида имеет ровно один корень, если в = – а, где в =7, а = р +3

2. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | | х| – р – 6| = 11 имеет ровно два корня.

Решение: | | х| – (р + 6)| = 11 геометрически

Р + 6 – 11 р + 6 р + 6+11 р + 6-11 р р + 6+11>0, р > -17

11 11

по схеме уравнение такого вида имеет ровно два корня, если в + а > 0 и – в + а где в =11, а = р +6. -17р 5.

3. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | | х| – 4 р | = 5 р –9 имеет ровно четыре корня.

Решение: по схеме уравнение такого вида имеет ровно четыре корня, если

0р –9 р, р > и р

т.е. 1 р 9.

Ответ: 1 р 9.

4 . . Найти значения р, при каждом из которых уравнение | | х| – 2 р | = 5 р +2 не имеет корней. Решение: 5 р +2 р +2 =0 и –2 р >0, или 5 р +2 >0 и 5 р +2 р.

р р = –0,4, или р > – 0,4 и р . Ответ : р

5. При каких значениях параметра р уравнение | | х –4 | – 3| + 2 р = 0 имеет три корня. Найти эти корни.

Преобразуем уравнение к виду:

| | х –4 | – 3|= – 2 р .

По схеме уравнение такого вида имеет три корня,

если –2 р =3>0,

Т.е. р = –1,5.

|| х –4|–3| = 3,

| х –4|=0, х = 4,

|| х –4|=6, х = –2, х =10.

Ответ: при р = –1,5 уравнение имеет три корня: х 1 = –2, х 2 = 4, х 3 =10.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Скажите, какие бы вы выделили главные слова урока? (Модуль, параметр)

Что мы сегодня повторили? (Определение модуля, геометрический смысл модуля числа и разности чисел, свойства модуля, разные способы решения уравнений)

Что мы сегодня делали?

Домашнее задание.

«Линейное уравнение с двумя переменными» - Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. -Что называется уравнением с двумя переменными? Приведите примеры. -Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Линейное уравнение с двумя переменными. Определение: Алгоритм доказательства, что данная пара чисел является решением уравнения:

«Решение показательных уравнений» - Сведение к одному основанию. Вынесение за скобки. Т. Виета. Графический способ. Показательным уравнением называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Решение показательных уравнений. Устная работа. ab+ac=a(b+c). Степени. 2.Решить уравнение: Свойство. Виды и способы решения показательных уравнений.

«Графический способ решения уравнений» - Ответ: один корень, х=-1. Два корня. Решить графически уравнение (х+1)/(х-2)=2. Построить график функции y=x?+6x+8. Практикум по решению уравнений графическим способом Подготовка к зачету. Построить графики функций. Построить график функции y=(x+1)/(x-2). 1. Перенесем 8 в правую часть уравнения. Корней нет.

«Решение целых уравнений» - «Уравнения, в которых скопом Корни, степень, неравенств бездна. Три великих математика. Удачи в дальнейшем изучении методов решения уравнений. Осевая симметрия присуща большинству видов растений и животных. Центральная. В животном мире 2 вида симметрии. Диктант. Осевая. Определите методы решения уравнений.

«Уравнения с логарифмами» - Логарифмические уравнения. Реши устно уравнения. Формулы преобразования логарифмов. Уравнение. Определение. Таблицы логарифмов. Определение логарифма. Определение и свойства логарифма. Логарифмическая линейка. Функция. Наушники или колонки. Область определения. Подходы к решению. Решить уравнение. Гимназия.

«Иррациональные уравнения» - На контроль д/з выполнили: №419 (в,г) Сафиуллина, №418(в,г) Кульмухаметов, №420(в,г)Шагеев. 2 урок Решение систем уравнений. Урок 1 Тема: Решение иррациональных уравнений. 1.Какие из следующих уравнений являются иррациональными: Цели: Познакомить учащихся с решениями некоторых видов иррациональных уравнений.

Всего в теме 49 презентаций

Занятие «Решение линейных уравнений с параметром, содержащих модуль».

Цель: сформировать умение решать линейные уравнения с параметром, содержащие модуль; развивать логическое мышление и навыки самостоятельной работы.

Оборудование: презентация.

Ход урока.

1.Для актуализации знаний учащихся необходимо повторить понятие модуля и решить несколько уравнений с модулем: |х|=3; |х|= - 5; |х|=0.

Затем предложить учащимся ответить на вопрос: Сколько корней может иметь уравнение с модулем и от чего это зависит?

Вывод содержится на 2 слайде. Его записывают в тетради.

Разбор решения уравнения |х - 2 |= 3

Фронтальная работа с классом: решение уравнения 1. |х + 4 |= 0.

Самостоятельное решение уравнений:

2. |х - 3 |= 5; 3. |4 - х |= 7; 4. |5 - х |= - 9. Проверка.

Разбор решения задание 1 :

Определите число корней уравнения

||х| +5 - а |= 2. (слайд 3)

Комментарии учителя: это уравнение с параметром, т.е. с переменной а. В зависимости от значения этой переменной будет изменяться вид уравнения. А значит, и число корней уравнения зависит от а.

Предложить учащимся ответить на вопрос задания «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| +5 - а |= 2 имеет ровно 3 корня. (Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 7. (слайд 4)

Решить у доски задание 2: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| - 3 + а |= 4 имеет ровно 3 корня. Ответ: - 1.

Самостоятельная работа. Задание 3 .Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| -4+ а |= 3 имеет ровно 1 корень. Ответ: 7.

Задание 4 . При каких значениях а уравнение

|а - 5 - |х||= 3 имеет нечетное число корней (если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 10.

Предложить учащимся разобрать способ решения задания, используя свойство четности функции и графический способ.

7. Итог урока. Над чем вы сегодня работали на уроке? Было ли для вас что-то нового и познавательного? Над чем бы вы хотели поработать на следующем уроке?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Уравняем коэффициенты при x в первом и втором уравнениях, для этого умножим обе части первого уравнения на 6, а второго уравнения – на 10, получаем:

60x − 30 y − 18z = − 54,60x + 40 y − 50z = − 10.

Вычитаем из второго уравнения полученной системы первое урав-

нение, получаем: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

Из второго уравнения исходной системы вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, получаем: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 y + 7z = 45.

Теперь решаем новую систему уравнений:

35y − 16z = 22,12 y + 7z = 45.

К первому уравнению новой системы, умноженному на 7, прибавляем второе уравнение, умноженное на 16, получаем:

35 7 y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Теперь подставляем y = 2, z = 3 в первое уравнение исходной сис-

темы, получаем: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Ответ: (1; 2;3) . ▲

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

ax + 4 y = 2 a,

Рассмотрим систему уравнений

x + ay = a.

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

В этой системе, на самом деле, три переменные, а именно: a , x , y . Неизвестными считают x и y , a называют параметром. Требуется найти решения (x , y ) данной системы при каждом значении параметра a .

Покажем, как решают такие системы. Выразим переменную x из второго уравнения системы: x = a − ay . Подставляем это значение для x в первое уравнение системы, получаем:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Если a = 2, то получаем уравнение 0 y = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое число y , и тогда x = 2 − 2 y , т. е. при a = 2 пара чисел (2 − 2 y ; y ) является решением системы. Так как y может быть

любым числом, то система при a = 2 имеет бесконечно много решений.

Если a = − 2, то получаем уравнение 0 y = 8. Это уравнение не имеет ни одного решения.

Если теперь a ≠ ± 2,				то y =		a (2 − a)
						(2 − a )(2 + a )		2 + a
x = a − ay = a −
				2 + a

Ответ: При a = 2 система имеет бесконечно много решений вида (2 − 2 y ; y ) , где y − любое число;

при a = − 2 система не имеет решений;
при a ≠ ± 2, система имеет единственное решение						. ▲
		2 + a		2 + a

Мы решили эту систему и установили, при каких значениях параметра a система имеет одно решение, когда имеет бесконечно много решений и при каких значениях параметра a она не имеет решений.

Пример 1. Решите систему уравнений

© 2010, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

−3

y − 1

3x − 2 y = 5.

Из второго уравнения системы выражаем x через y , получаем

2 y + 5

подставляем это значение для x в первое уравнение сис-

темы, получаем:

2y + 5

−3

y − 1

−3

−1

5 = 0

Выражение

y = −

y > −

; если

−5

= −y

Выражение y − 1 = 0,

если y = 1. Если

y > 1, то

y − 1

Y − 1, а ес-

ли y < 1, то

y − 1

1 − y .

Если y ≥ 1, то

y − 1

Y −1 и

получаем уравнение:

−3 (y

− 1) = 3,

−3 y

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Число 2 > 1, так что пара (3;2) является ре-

шением системы.

Пусть теперь

5 ≤ y <1,

y − 1

− y ;

нахождения

получаем

уравнение

3 y −3

4 y + 10

3 y = 6,

13 y = 8

© 2010, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

(2 y + 5) =

Но меньше, чем

поэтому пара чисел

является решением системы.

y < −

то получаем уравнение:

3 y −3

4 y −

3y = 6,

5 y =

28 , y = 28 .

значение

поэтому решений нет.

Таким образом, система имеет два решения (3;2) и 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Решение задач с помощью систем уравнений

Пример 1. Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за 2,5 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он пройдёт путь на 15 км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите это расстояние.

Обозначим через S расстояние между городом и посёлком и через V скорость автомобиля. Тогда для нахождения S получаем систему из двух уравнений

2,5V = S ,

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

во второе уравнение:		S + 20 2	S +15,		S = 25,	S = 125.

Ответ: 125 км. ▲

Пример 2. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 больше исходного. Найдите эти числа.

Пусть данное число ab , т.е. число десятков равно a , а число единиц равно b . Из первого условия задачи имеем: a + b = 15. Если из числа ba вычесть число ab , то получится 27, отсюда получаем второе уравнение: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

Умножим обе части уравнения на 20, получим: x + 8 y = 840. Для нахождения x и y получили систему уравнений

Ответ: 40 т, 100 т. ▲

Пример 4. Оператор ЭВМ, работая с учеником, обрабатывает задачу за 2 ч 24 мин. Если оператор будет работать 2 ч, а ученик 1 ч, то бу-

дет выполнено 2 3 всей работы. Сколько времени потребуется операто-

ру и ученику в отдельности на обработку задачи?

Обозначим всю работу за 1, производительность оператора за x и производительность ученика за y . Учитываем, что

2 ч 24 мин = 2 5 2 ч = 12 5 ч .

Из первого условия задачи следует, что (x+y ) 12 5 = 1. Из второго условия задачи следует, что 2 x + y = 2 3 . Получили систему уравнений

(x+y)

2 x + y =

Решаем эту систему методом подстановки:

− 2 x ;

−2 x

−x

− 1;

; x =

; y =

© 2010, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна