Преобразование подобия свойства преобразования подобия урок. Преобразование подобия — Гипермаркет знаний
1. Определение преобразования подобия. Непосредственным обобщением движений являются преобразования подобия. Преобразование А называется преобразованием подобия, если для этого преобразования существует такое положительное число подобия», что каковы бы были две точки , всегда
При этом, как всегда, через М обозначаем образ точки М. Если , то получаем изометрические преобразования, т. е. движения, являющиеся, таким образом, частным случаем преобразований подобия.
Замечание 1. Легко видеть, что преобразования подобия образуют группу - подгруппу в группе всех преобразований (плоскости, соответственно пространства).
2. Равномерное растяжение (гомотетия). Сначала рассмотрим простейшие преобразования подобия, так называемые равномерные растяжения, или гомотетические преобразования (гомотетии). Растяжением пространства (плоскости) с центром О и коэффициентом растяжения k называется преобразование А, состоящее в следующем:
V Точка О остается неподвижной.
2 Всякая точка переходит в точку М, лежащую на луче ОМ и определяемую на нем условием ОМ .
Таким образом, название «растяжение» соответствует наглядной картине преобразования лишь при наше «растяжение» в действительности оказывается сжатием.
Замечание 2. Так как векторы и ОМ лежат на одной и той же полупрямой, исходящей из точки О, то они имеют одно и то же направление. Поэтому из равенства следует и .
Докажем, что всякое растяжение является преобразованием подобия. В самом деле, пусть при растяжении с центром О и коэффициентом к точки переходят соответственно в точки и М, (рис. 150). Тогда . Треугольники подобны, и, значит, , что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что растяжение с центром О и коэффициентом k есть аффинное преобразование. Можно ограничиться случаем плоскости.
Возьмем произвольный координатный репер с началом в центре данного растяжения (рис. 151). Пусть - произвольная точка плоскости, - ее образ при данном растяжении (координаты относительно репера ). Тогда имеем равенство , эквивалентное системе равенств
доказывающей наше утверждение.
Обратно, если в какой-нибудь аффинной координатной системе . Преобразование А записывается в виде (2), то оно есть растяжение с центром О и коэффициентом растяжения k. В самом деле, преобразование - А, оставляя точку О на месте, переводит всякий вектор в вектор , откуда и следует утверждение.
Итак, растяжение плоскости с центром О и коэффициентом k может быть определено как аффинное преобразование, которое в , и тогда непременно во всякой, аффинной системе координат с началом О записывается в виде (2).
Замечание 3. Мы всегда в качестве исходной системы координат можем выбрать прямоугольную систему.
Совершенно аналогичный результат имеет место и для пространства.
Замечание 4. Все растяжения с данным центром образуют группу - подгруппу группы аффинных преобразований (плоскости, соответственно пространства).
3. Представление преобразования подобия в виде произведения растяжения и движения. Из сказанного до сих пор еще не ясно, является ли всякое преобразование подобия аффинным преобразованием. Положительный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме, которая и представляет собою основной результат этого параграфа.
Теорема 11. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k есть аффинное преобразование, а именно произведение растяжения с тем же коэффициентом k и произвольным центром О на некоторое собственное или несобственное движение A.
Доказательство. Пусть Q есть растяжение с произвольным центром О и коэффициентом - L. При преобразовании длина каждого отрезка умножается на k, а при преобразовании Q она умножается на поэтому, если сделать сначала преобразование Q, а потом преобразование то получим преобразование при котором длина каждого отрезка остается неизменной. Другими словами, преобразование есть изометрическое преобразование, т. е. движение, собственное или несобственное.
>>Математика: Преобразование подобия
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры F в фигуру F" называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X", Y" фигуры F", то X"Y" = k-XY, причем число k -- одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.
Пусть F -- данная фигура и О -- фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k?OX, где k -- положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X", построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F" называются гомотетичными.
Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия
Доказательство. Пусть О -- центр гомотетии, k -- коэффициент гомотетии, X и Y - две произвольные точки фигуры (рис.3)
Рис.3
При гомотетии точки X и Y переходят в точки X" и Y" на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX" = k?OX, OY" = k?OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ" = kOX, OY" = kOY.
Вычитая эти равенства почленно, получим: OY"-OX" = k (OY- OX).
Так как OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, то Х" Y" = kХY. Значит, /X"Y"/=k /XY/, т.e. X"Y" = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А 1 , В 1 , С 1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В 1 лежит между точками А 1 и С 1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А 1 В 1 С 1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А 2 и С 2 . Треугольники А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 . Значит, углы ABC и А 1 В 1 С 1 равны, что и требовалось доказать.
Примеры
- Каждая гомотетия является подобием.
- Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .
Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.
Связанные определения
Свойства
В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.
Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Преобразование подобия" в других словарях:
преобразование подобия - Изменение характеристик моделируемого объекта посредством умножения его параметров на значения таких величин, которые преобразуют сходственные параметры, обеспечивая этим подобие и делая математическое описание, если оно имеется, тождественным… …
преобразование подобия - panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformation of similitude vok. Ähnlichkeitstransformation, f; äquiforme Transformation, f rus. преобразование подобия, n pranc. conversion de similitude, f; transformation de… … Fizikos terminų žodynas
См Гомотетия … Большой энциклопедический политехнический словарь
преобразование подобия - Изменение количественных характеристик данного явления посредством умножения их на постоянные множители, преобразующие эти характеристики в соответствующие характеристики подобного явления … Политехнический терминологический толковый словарь
Преобразование - (в кибернетике) изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П … Экономико-математический словарь
преобразование (в кибернетике) - Изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П. в ходе вещественного процесса. В… … Справочник технического переводчика
Замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам. Напр., заменяя алгебраическое выражение x2+4x+4 выражением (x+2)2,… … Большой Энциклопедический словарь
Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия
Я; ср. 1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую. 2. Коренное изменение, перемена. Крупные социальные преобразования. Заняться хозяйственными преобразованиями. ◁… … Энциклопедический словарь
Примеры
- Каждая гомотетия является подобием.
- Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .
Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.
Связанные определения
Свойства
В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.
Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Преобразование графиков функций
- Преобразование плоскости
Смотреть что такое "Преобразование подобия" в других словарях:
преобразование подобия - Изменение характеристик моделируемого объекта посредством умножения его параметров на значения таких величин, которые преобразуют сходственные параметры, обеспечивая этим подобие и делая математическое описание, если оно имеется, тождественным… …
преобразование подобия - panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformation of similitude vok. Ähnlichkeitstransformation, f; äquiforme Transformation, f rus. преобразование подобия, n pranc. conversion de similitude, f; transformation de… … Fizikos terminų žodynas
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ - см Гомотетия … Большой энциклопедический политехнический словарь
преобразование подобия - Изменение количественных характеристик данного явления посредством умножения их на постоянные множители, преобразующие эти характеристики в соответствующие характеристики подобного явления … Политехнический терминологический толковый словарь
Преобразование - (в кибернетике) изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П … Экономико-математический словарь
преобразование (в кибернетике) - Изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П. в ходе вещественного процесса. В… … Справочник технического переводчика
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам. Напр., заменяя алгебраическое выражение x2+4x+4 выражением (x+2)2,… … Большой Энциклопедический словарь
Преобразование плоскости - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Преобразование - одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия
преобразование - я; ср. 1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую. 2. Коренное изменение, перемена. Крупные социальные преобразования. Заняться хозяйственными преобразованиями. ◁… … Энциклопедический словарь